Xosé Rodríguez González

Houbo un tempo, na historia deste blogue, no que adicaba entradas a recompilar información sobre personaxes destados das matemáticas. Foi a época en que se homenaxeaba a algún matemático galego naquelas Xornadas da Ciencia en Galego que xurdiran para poñer en evidencia a prohibición do uso desta lingua nas materias científicas derivada do funesto decreto 79/2010, o de restricción do uso do galego no ensino non universitario. Podemos lembrar os casos de María Wonenburger, Domingo Fontán e Ramón Verea ([1], [2], [3] e [4])

Nesta ocasión, aproveitando o nomeamento por parte da RACG do científico do ano,  achegamos unha entrada de recursos a Xosé Rodríguez González (1770-1820), quen desde o traballo de ingreso no Seminario de Estudos Galegos de D. Ramón María Aller, é coñecido como o matemático de Bermés.

Webs

• Xosé Rodríguez González, na Galipedia
• José Rodríguez González. O matemático do Bermés,  2012, por Margarita Barral Martínez no Álbum da Ciencia
• Xosé Rodríguez González, na páxina de Fillos Ilustres do Concello de Lalín
• Dous séculos sen o matemático Rodríguez, (22/03/2024) A.C. Alexandre Bóveda

Prensa

• José Rodríguez González. O matemático de Bermés, 27/05/12, por Benito García Carril no Faro de Vigo
• José Rodríguez, ´O matemático de Bermés´, 30/06/2013, por Antonio Vidal Neira no Faro de Vigo
• O Matemático de Bermés visto por Ramón Aller,05/10/14, por Celia Rodríguez no Faro de Vigo
• José Rodríguez, o matemático galego que definiu o metro, 10/10/17, por Eduardo Rolland en GCiencia
• Iván Fernández: “A figura do matemático Rodríguez debería estudarse nos colexios”,12/02/18, GCiencia
• El matemático de Bermés, por Manuel Molina Mera, 09/10/22, por Antonio Vidal Neira, no Faro de Vigo
• O matemático José Rodríguez, nomeado Científico galego do ano, GCiencia (12/02/24)
• Xosé Rodríguez, o matemático que situou o km 0 da Galiza en Lalín, nomeado Científico do Ano pola Academia 12/02/2024, Nós Diario
• José Rodríguez González, nomeado 'Científico galego do ano" pola Academia Galega de Ciencias, 13/02/24, Diario Luso-Galaico
• O matemático Rodríguez, Científico Galego do Ano, 13/02/2024, por Alfonso Loño no Faro de Vigo
• José Rodríguez, 'o matemático de Bermés', científico galego do ano, 20/02/2024, por Marcos Pérez Pena en Praza Pública
• O matemático José Rodríguez González, nomeado “Científico Galego do Ano” pola RAGC, RACG (12/02/24) 

Blogues:

• José Rodríguez González. O matemático de Bermés., 12/07/12, no blogue Fillos ilustres de Lalín
• D. José Rodríguez González (o matemático de Bermés), 09/08/2014, no blogue Os libros de Ánxel Casal
• Cartel de Xosé Rodríguez González. Día da Ciencia 2014,30/10/2014, no blogue As Ferreiras
• Xosé Rodríguez González (o matemático de Bermés), por Ramón M. Aller, 07/11/2014, no blogue As Ferreiras
• O escultor do matemático Rodríguez, 05/11/14, por Isidro Gil Pallares, no blogue As Ferreiras
• O matemático Rodríguez, manuscrito de Ramón Mª Aller, 06/11/14, no blogue As Ferreiras
• Presentación do matemático Rodríguez, 06/11/14, no blogue As Ferreiras
• O matemático de Bermés, 07/12/14, Biblioteca do Laxeiro

Documentos:

• Comuinicación á Royal Society, 04/06/1812, Royal Society

Audio

• As aventuras do gran triángulo, 28/06/23, programa Efervescencia 640

Publicacións

• Contribución dun sabio galego á determinación da forma e dimensións da terra. Xosé Rodríguez González, matemático, astrónomo e xeodesta.Carlos Brandido Gutiérrez, Revista Lvcensia N. 9 (1994) ; p. 10-30 
• "O matemático de Bermés". Memoria apasionada de un hombre sabio, Armando Vázquez, Descubrindo Deza nº 1 (1999)
• El matemático José Rodríguez y la Universidad, (1999) por María Ángela Varela Varela, consultar PDF
• José Rodríguez González: un Erasmus galego nos albores do século do progreso, 2007, por Mercedes Sampayo Yáñez, do IES Eusebio da Guarda, Revista Gamma nº 7
• Legado científico do matemático galego José Rodríguez González, Mercedes Sampayo Yáñez, Revista Lvcensia N. 35 (2007) ; p. 347-360. 
• A estadía de José Rodríguez González en Alemaña (1815-1817). Tradución dunha publicación súa,2011, por Iván Fernández Pérez en Minerva (USC)
• Novos apuntamentos para a biografía de José Rodríguez González, o matemático do Bermés, Iván Pérez Fernández, Minerva (USC) 2016
• Actividade científica do matemático José Rodríguez González durante a súa estadía en Madrid (1819-1823),Iván Fernández Pérez, Revista Lvcensia N. 57 (2018) ; p. 141-153.
• Dúas obras inéditas de José González, por Iván Fernández Pérez, Descubrindo Deza XI (2021)
• Unha carta do astrónomo húngaro Pál Titel a José Rodríguez González, o matemático do Bermés, por Carmen Villanueva e J. A. Docobo Durántez, Descubrindo Deza nº 14 (2022)
• José Rodríguez González (1770- 1824), matemático, geodesta, astrónomo, naturalista y viajero científico por Europa, tese de doutoramento por María Carmen Villanueva Pérez, Universidade de Vigo (2023)

Nota

É moi probable que despois da publicación desta entrada xurdan máis recursos sobre Xosé Rodríguez. Aínda que non é unha práctica habitual neste blogue, intentarei engadilos na medida do posible.

Fraccións continuas teito e as montañas de Galicia

por Andrés Ventas

Fraccións continuas teito

Unha fracción continua teito ($fct$) é unha fracción continua na que usamos a función teito para obter os seus coeficientes. Os seus converxentes $\frac{p_i}{q_i}$ obtéñense mediante unha recorrencia de resta,

$p_{-1}=1, \ p_{0}=c_0, \ p_i=c_i p_{i-1} - p_{i-2}$.

$q_{-1}=0, \ q_{0}=1, \ q_i=c_i q_{i-1} - q_{i-2}$.

Para o cálculo da fracción continua, se $x$ é racional usamos o algoritmo de Euclides coa función teito e se o número e irracional usamos unha iteración sobre o inverso de $x$ restando en cada paso o valor teito do resultado.

Hai varias notacións.É moi cómoda a reducida, choendo os coeficientes entre símbolos da función teito $\lceil c_0, c_1, c_2, c_3, \cdots \rceil$.

A notación tradicional é \[ \mathrm{x}= c_0-\cfrac{1}{c_1-\cfrac{1}{c_2-\cfrac{1}{c_3- \cdots\vphantom{\cfrac{1}{1}} }}} \]

E a maiores hai outra notación semireducida $c_0 - \dfrac{1}{c_1 \ -} \ \dfrac{1}{c_2 \ - } \ \dfrac{1}{c_3 \ - } \ \dfrac{}{\ldots} $,

Vexamos dous exemplos de cálculo:

Con Euclides teito, calculamos a $fct$ de $\dfrac{93}{20}$ e os seus converxentes,

Cociente teito resto 93 20 $c_0=5$ -7 20 7 $c_1=3$ -1 7 1 $c_2=7$ 0

5 3 7 $p_i$ 1 5 14 93 $q_i$ 0 1 3 20

Así $\dfrac{93}{20}=\lceil 5, 3, 7 \rceil = 5-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{7\vphantom{\cfrac{1}{1}} }}$. (Como fracción continua regular $\dfrac{93}{20}=[4, 1, 1, 1, 6 ]).$

Agora con inverso iterativo, calculamos $\sqrt{3} \approx 1.7320$ e os seus converxentes,

$c_i = \lceil x_{i-1} \rceil$ $r_i=c_i - x_{i-1}$ $x_i = 1/r_i $ $x_{-1} \approx 1.7320$ $c_0=2$ 0.2680 3.7320 $c_0=4$ 0.2680 3.7320 $c_0=4$ 0.2680 3.7320 $\ldots$ $\ldots$ $\ldots$

2 4 4 4 $\cdots$ $p_i$ 1 2 7 26 97 $\cdots$ $q_i$ 0 1 4 15 56 $\cdots$

Así temos $\sqrt{3}=\lceil 2, 4, 4, \cdots \rceil$,

sendo $\sqrt{3} \approx 1.7320$ e o cuarto converxente $\dfrac{97}{56} \approx 1.7321$.

Comparten moitas propiedades coas fraccións continuas regulares, mais evidentemente teñen as súas pecularidades. No libro de Sergey Khrushchev, Orthogonal Polynomials and Continued Fractions temos un minucioso tratado.

As $fct$ converxen sempre polo lado superior.

Nalgúns casos as $fct$ dan o menor número de pasos, aínda que normalmente son peores en número de pasos. De feito non cumpren coa constante de Khinchin, porque se atoan nos coeficientes, fundamentalmente no $2$.

No 1657 Brouncker atopa, seguindo outro camiño, unha fracción continua teito para solucionar a ecuación de Pell $x^2 - 2y^2 =1$, onde as solucións son certos converxentes da $fct=\lceil 6, 6, 6, \ldots \rceil$, con recorrencia $x_n=6x_{n-1}-x_{n-2}$ e por tanto a solución consiste en resolver a ecuación $x=6-\dfrac{1}{x}$, que dá $x=3+2\sqrt{2}$. (Lema 2.21 do libro de Khrushchev).

Se se permiten coeficientes en $\mathbb{Q}$ ou mesmo en $\mathbb{C}$ os resultados son máis interesantes aínda, serían funcións teito xeneralizadas que van en paralelo coas fraccións continuas xeneralizadas.

Fraccións continuas mixtas

Na fracción continua mixta ($fcm$) usamos a función teito ou chan en cada paso en función do menor residuo. A notación sería igual que a da fracción continua regular mais levando un superindice "$\mathbf{-}$" sobre os coefcientes que se obteñan coa función teito $[ c_0, c_1^{\mathbf{-}}, c_2^{\mathbf{-}}, c_3, \cdots ]$.

Para obter os seus converxentes $\dfrac{p_i}{q_i}$ temos recorrencia de suma ou resta en función do superíndice do coeficiente $c_{i-1}$, restamos cando $c_{i-1}^{\mathbf{-}}$ ten superíndice negativo.

$p_{-1}=1, p_{0}=c_0, p_i=c_i p_{i-1} \pm p_{i-2}$.

$q_{-1}=0, q_{0}=1, q_i=c_i q_{i-1} \pm q_{i-2}$.

(Signo negativo se $c_{i-1}$ ten superíndice $\mathbf{-}$).

Este tipo de fracción dá o menor número de pasos no algoritmo de Euclides e igualmente dá o menor número de termos na fracción continua. Outra vez vexamos dous exemplos.

Con Euclides mixto, calculamos a $fcm$ de $\frac{2114}{61}$, e os seus converxentes,

Cociente teito ou chan resto 2114 61 $c_0=35^{\mathbf{-}}$ -21 61 21 $c_1=3^{\mathbf{-}}$ -2 21 2 $c_2=10$ 1 2 1 $c_3=2$ 0

$35^{\mathbf{-}}$ $3^{\mathbf{-}}$ 10 2 $p_i$ 1 35 104 1005 2114 $q_i$ 0 1 3 29 61

Por tanto $\dfrac{2114}{61}=[ 35^{\mathbf{-}}, 3^{\mathbf{-}}, 10, 2]$.

Xa temos unha moi boa cousa positiva das $fcm$ pois obtemos o $mcd$ nun menor número de pasos e por tanto tamén o multiplicativo modular inverso.

Constantes das montañas de Galicia

Chámanse medias ou constantes metálicas os valores das fraccións continuas que teñen todos os seus coeficientes iguais, a máis famosa precisamente a proporción aurea $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618033\ldots$ con fracción continua regular $[1,1,1,1, \ldots]$.

Así que imos aproveitar para definir, usando as $fct$ de forma similar, as constantes das montañas de Galicia. Temos que $fct=\lceil 3, 3, 3, \ldots \rceil = \frac{3+\sqrt{5}}{2}=2.618033\ldots$ que como vemos é $\varphi + 1$ e a esta constante ímoslle chamar Pena Trevinca pois o nome évos ben acaído para ese conxunto de treses.

É fácil demostrar que o valor para calquera $fct$ cos coeficientes repetidos é $$\lceil c, c, c, c, \ldots \rceil=\dfrac{c+\sqrt{c^2-4}}{2}$$ por tanto podemos asignar unha constante a cadanseu monte:

O caso da $fct=\lceil 2, 2, 2, \ldots \rceil$ é particular pois ten como solución unha constante enteira $1$, así que imos deixar esa constante para o Monte da Guía en Vigo que ten só $100$ metros.

$fct$	Constante	Monte	Altura
$ \lceil 2, 2, 2, \ldots \rceil$	$\frac{2+\sqrt{0}}{2}=1$	Monte da Guía (Vigo)	100 metros
$ \lceil 3, 3, 3, \ldots \rceil$	$\frac{3+\sqrt{5}}{2}=2.618033$	Pena Trevinca (Serra do Eixo)	2127 metros
$ \lceil 4, 4, 4, \ldots \rceil$	$\frac{4+\sqrt{12}}{2}=2+\sqrt{3}=3.732050$	Cuíña (Serra dos Ancares)	1987 metros
$ \lceil 5, 5, 5, \ldots \rceil$	$\frac{5+\sqrt{21}}{2}=4.791287$	Manzaneda (Serra da Queixa)	1781 metros
$ \lceil 6, 6, 6, \ldots \rceil$ (Brouncker)	$\frac{6+\sqrt{32}}{2}=3+2\sqrt{2}=5.828427$	Formigueiros (Serra do Courel)	1639 metros
$ \lceil 7, 7, 7, \ldots \rceil$	$\frac{7+\sqrt{45}}{2}=6.854101$	O Turrieiro (Serra da Enciña da Lastra)	1612 metros
$ \lceil 8, 8, 8, \ldots \rceil$	$\frac{8+\sqrt{60}}{2}=4+\sqrt{15}=7.872983$	Monte Faro (Serra do Faro)	1187 metros
$ \lceil 9, 9, 9, \ldots \rceil$	$\frac{9+\sqrt{77}}{2}=8.887482$	O Cadramón (Serra do Xistral)	1056 metros

Bibliografia

Sergey Khrushchev, Orthogonal Polynomials and Continued Fractions

Wikipedia, Fracción continua

Wikipedia Fraccións continuas xeneralizadas.

Wikipedia, Constante de Khinchin

Wiwipedia, Metallic Means

Un regalo da xeometría inversiva

Nunca estudei a xeometría inversiva. O máis cerca que estiven diso foi nas clases de Álxebra II, no segundo cuso da carreira, cando traballamos a razón dobre. Aquel achegamento , facendo honra á denominación da materia, foi puramente alxébrico. Nesas clases nunca debuxamos unha circunferencia. Así, cando vexo algúns apuntes sobre ese tema ando sempre ás atoutiñadas, todo me sorprende. 

Nunha entrada anterior xa se explicaba en que consistía a inversión dun plano mediante unha circunferencia. Recórdoo de seguido. Trátase dunha transformación do plano (agás un punto) en si mesmo. Dada unha circunferencia, (que chamaremos circunferencia inversiva) de centro O (centro de inversión) e raio R construiremos a inversión así:

Se $P$ é un punto do círculo de centro $O$ e raio $R=OT$ trazamos a semirecta $OP$ e a súa perpendicular polo punto $P$. Esta perpendicular cortará en dous puntos á circunferencia. A tanxente nun destes puntos cortará a semirecta $OP$ nun punto $P'$ que será a inversión de $P$

No caso de que $P$ fique fóra do círculo a obtención de $P'$ sería semellante. Desde $P$ trazamos unha das tanxentes á circunferencia $PT$. Despois trázase a perpendicular a $OP$ por $T$ e obtemos $P'$

En calquera caso  o inverso dun punto $P$ respecto dunha circunferencia de centro $O$ e raio $R$ é outro punto $P'$ na semirecta $OP$ tal que $OP\cdot OP'=R^{2}$ Son bastante evidentes as seguintes propiedades:

• O inverso do inverso é o propio punto
• O inverso dun punto interior á circunferencia fica fóra da mesma e viceversa.
• Os únicos puntos auto-inversos son os da circunferencia

Na entrada á que facía referencia anteriormente deducíranse algunhas propiedades da inversión usando un método un tanto estrafalario (mediante o uso da proxección estereográfica). Alí establecimos os seguintes resultados:

• A inversión conserva os ángulos
• A inversa dunha recta que pasa por O é a propia recta (sempre que omitamos o propio punto O, que é o único que non ten imaxe)
• A inversión transforma circunferencias que non pasan por O en circunferencias
• A inversión transforma circunferencias que pasan por O en rectas.

Imos demostrar a última propiedade mediante un procedemento máis estándar. Recóllo do libro "Regreso a la geometría" de H.S.M Coxeter e S.L. Greitzer (La tortuga de Aquiles 1993).

Consideremos unha recta $a$ que non pase por $O$. Tracemos desde $O$ a perpendicular a $a$, $=OA$. Sexa $A'$ a inversa de $A$. Debuxemos a circunferencia $\alpha $ de diámetro $OA$. Desde un punto $P\in a$ trazamos o segmento $OP$ que cortará a $\alpha $ nun punto $P'$. 

Os triángulos $\triangle OP'A'$ e $\triangle OPA$ son semellantes xa que comparte o ángulo en O e ambos teñen ademais un ángulo recto. De aí que tamén $$\frac{OP}{OA}=\frac{OA'}{OP'}\Rightarrow OP\cdot OP'=OA\cdot OA'=R^{2}$$

Entón $P'$ é o inverso de P.  Recíprocamente calquera punto da circunferencia $\alpha$ invértese noutro da recta $a$

A lonxitude dun segmento invertido

Seguindo o libro de Coxeter e Greitzer abordaremos agora un teorema que explica como se modifica a distancia mediante a inversión. 

Fórmula da lonxitude dun segmento invertido. Se unha circunferencia $\omega$ de centro $O$ e raio $R$ inverte os puntos $A$ e $B$ en $A'$ e $B'$, as distancias verifican a seguinte relación $$A'B'=\frac{R^{2}\cdot AB}{OA\cdot OB}$$

Sexa $A'$ inverso de $A$: $OA\cdot OA'=R^{2}$

Sexa $B'$ inverso de $B$: $OB\cdot OB'=R^{2}$

Entón $OA\cdot OA'=OB\cdot OB'$ polo que e  $$\frac{OA}{OB}=\frac{OB'}{OA'}$$

Daquela os triángulos $\triangle OAB$ e $\triangle OA'B'$ son semellantes pois o ángulo en O é común e os lados que o determinan son proporcionais (aplicamos o chamado criterio LAL). Polo tanto temos tamén que $$\frac{A'B'}{AB}=\frac{OA'}{OB}=\frac{OA\cdot OA'}{OA\cdot OB}=\frac{R^{2}}{OA\cdot OB}$$

Despexando, obtemos a igualdade prometida: $$A'B'=\frac{R^{2}\cdot AB}{OA\cdot OB}$$

Un regalo: o teorema de Ptolomeo

Hai moitas demostracións do teorema de Ptolomeo. Algunhas teñen base trigonométrica, outras usan a semellanza de triángulos. No libro que vimos mencionando demóstrase este teorema usando a recta de Simson-Wallace (para este tema ver estas outras entradas neste mesmo blogue [1] e [2]). Resulta que tamén hai unha demostración inversiva, ademais é directa e simple.

Antes de nada lembremos que un cuadrilátero cíclico é aquel que ten os catro vértices nunha mesma circunferencia. Sabendo isto podemos enunciar o

Teorema de Ptolomeo. Se ABCD é un cuadrilátero cíclico, a suma dos produtos dos pares de lados opostos é igual ao produto das diagonais, isto é: $AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot BC$

Sexa $\alpha$ a circunferencia pola que pasan os catro vértices do cuadrilátero. Tomando o vértice $A$ como centro, construímos outra circunferencia $\omega$ que conteña ao cuadrilátero. Agora, como os outros vértices, $B$, $C$ e $D$ están en $\alpha$, unha circunferencia que pasa polo centro de inversión, se os invertemos, as súas imaxes $B'$, $C'$ e $D'$ ficarán todas nunha recta. Velaí que $$B'D'=B'C'+C'D'$$

Fagamos agora uso da fórmula, dada anteriormente,  que nos dá a distancia dun segmento invertido:$$\frac{R^{2}\cdot BD}{AB\cdot AD}=\frac{r^{2}\cdot BC}{AB\cdot AC}+\frac{R^{2}\cdot CD}{AC\cdot AD}$$

Eliminando $R^{2}$ e sacando denominadores facendo uso de que o seu mínimo común múltiplo é $AB\cdot AC\cdot AD$:

$$AB\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot CD$$

O recíproco do teorema de Ptolomeo tamén se verifica, isto é:

Recíproco do teorema de Ptolomeo. Se ABCD é un cuadrilátero tal qu: $AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot BC$, entón ABCD é un cuadrilátero cíclico.

Por outra banda, dados catro puntos calquera, sempre se verificaría a desigualdade, coñecida tamén como desigualdade de Ptolomeo: $$AB\cdot BD\leq AD\cdot BC+AB\cdot CD$$

Ademais a igualdade que nos ofrece o teorema de Ptolomeo caracteriza os cuadriláteros cíclicos.

Como colofón citaremos a seguinte aplicación do teorema de Ptolomeo. Consideremos o pentágono regular de lado unidade. As súas diagonais son evidentemente iguais (son a base de triángulos isósceles de lado 1); poñamos que miden $\varphi$ Desbotando por exemplo o vértice superior quédanos un cuadrilátero cícliclo.

Se lle aplicamos a este cuadrilátero o teorema de Ptolomeo teremos que $$\varphi \cdot \varphi =1\cdot \varphi +1$$

$$\varphi ^{2}=\varphi +1$$

Esta é unha ecuación doada de resolver, ou de recoñecer.

Son estraños os impares?

 por Andrés Ventas

Os impares son diferentes

(1). Todo comezou estudando a función zeta de Riemann

Función zeta de Riemann

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{s}}=1+\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+\dfrac{1}{4^s}+\cdots$. Serie dos reciprocos das potencias dos números naturais.

Resulta que Euler fixo un cálculo estupendo para resolver o valor de $\zeta(2)$, que é coñecido como o problema de Basilea (Basel Problem), no pdf Numerous Proofs of $\zeta(2)$ , móstranse numerosas probas desta igualdade, e actualmente son coñecidos os valores exactos dos valores pares de $\zeta(s)$, mais non os impares.

E somos capaces de elaborar numerosas maneiras para calcular $\zeta(2)$ e non somos capaces de conseguir $\zeta(3)$? Iso para min comeza a ser o principio dun misterio e unha curiosidade, algo que investigar.

R. Apéry conseguiu probar que $\zeta(3)$ é irracional A proof that Euler missed , e xa conseguiu abondo, nunha proba da que eu non consigo entender nen na metade da súa extensión.

A partir daquí comecei a tomar notas sobre outros problemas con solución coñecida para números pares e non para impares.

(2). Durante un par de anos dediqueime a resolver problemas da revista Fibonacci Quarterly, os meus favoritos eran as sumas de recíprocos. Nun artigo de Blagoj S. Popov de 1986, Summation of Reciprocal Series of Numerical Functions of Second Order aparecen os valores das sumas dos produtos por parellas de recíprocos con índices pares das series de Fibonacci e Lucas, mais non de índices impares.

Por exemplo para a sucesión de Fibonacci, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$: $F_{n} = \{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots \}$, temos:

$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{F_{2n} F_{2n+2}} = \beta^2 = \dfrac{1}{\alpha^2}$, sendo $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ o número áureo.

O artigo de Popov é máis completo e dá valores para as series con polinomios de Fibonacci, Lucas e outras recurrencias de segunda orde, mais en xeral os valores conseguidos son para elementos de índices pares.

(3). O terceiro caso que me atopei foron os números perfectos. Un número perfecto é un enteiro que é igual á suma dos divisores propios. Número Perfecto , existen para certos números pares mais conxectúrase que non existen para os impares.

A000396 Enciclopedia das secuencias : $\{6, \ 28, \ 496, \ 8128, \ 33550336, \ldots \}$.

Para os pares temos ata unha fórmula explícita para os números que o cumpren, debida a Euclides nada menos, e probada por Euler, $k = 2^{(p-1)}(2^p-1)$, sendo $p$ primo e $2^p-1$ primo tamén.

En binario forman unha curiosa representación: $\{110, \ 11100, \ 1111111000000, \ldots \}$.

(4). Coberturas. Paul Erdös no 1930 introduciu o conceito de cobertura mediante un sistema completo de residuos. Trátase de obter un sistema de residuos que produzan o conxunto completo dos números enteiros.

Algo básico e evidente sería $\{0 \pmod{3}, \ 1 \pmod{2}, \ 2 \pmod{3} \}$, porque $(0+3k) \cup (1+3k) \cup (2+3k) = \mathbb{Z}$.

Temos unha conxectura sen resolver de Erdős e Selfridge de que non existe unha cobertura cuxo sistema de residuos teña todos os módulos impares. Podedes ver datos sobre este tema no documento de Michael Filaseta, Wilson Harvey Coberturas de subconxuntos dos enteiros mediante congruencias .

(5). Chegamos á álxebra e temos que un ideal é un subanel dun anel que ten que ser pechado baixo a multiplicación por calquera elemento do anel.

E resulta que nos números enteiros os pares $2\mathbb{Z}$ forman un ideal e os impares non, porque par por par ou par por impar dá un número par.

(6). E outra máis. Temos o grupo de permutacións, que son as bixeccións de elementos do conxunto $M=\{x_1,\ x_2, \ x_3, \ldots, \ x_n \}$ no propio conxunto $M$. O conxunto $S_M$ de todas as permutacións $(\sigma)$ forma un grupo baixo a función de composición e identificámolo normalmente pola cardinalidade do conxunto $M$. Por exemplo, podemos escribir unha permutación en $S_5$ como $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

que se pode ler como o elemento $1$ vai ao $3$, o $2$ vai ao $4$, o $3$ vai ao $5$, etc.

Ou $\sigma(1)=3, \ \sigma(2)=4, \ \sigma(3)=5, \ \sigma(4)=2, \ \sigma(5)=1$.

Existe outra notación como ciclos da permutación que son os subconxuntos de elementos que van permutando entre sí, no exemplo visto sería $\sigma= (1 \ 3 \ 5) (2 \ 4)$ porque o $1$ vai ao $3$ o $3$ vai ao $5$ e o $5$ vai ao $1$, e o outro ciclo disxunto sería o $2$ vai ao $4$ e o $4$ vai ao $2$.

Un ciclo de lonxitude $2$ chámase transposición e toda permutación pode ser escrita como un conxunto de transposicións, seguimos co noso exemplo, o ciclo $(1 \ 3 \ 5)$ pode ser expresado como $(1 \ 5)(1 \ 3)$, visto en secuencia: $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & & 1 & & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

primeiro o $1$ vai ao $3$ e o $3$ ao $1$ e sobre ese resultado o $1$ vai ao $5$ e o $5$ ao $1$, obtendo o mesmo resultado que aplicado o ciclo directamente.

Dise que unha permutación é par cando pode ser obtida como produto dun número par de transposicións e será impar cando se obteña como produto dun número impar de transposicións.

Agora, por definición, o grupo Alterno $A_n$ de $n$ símbolos é o subgrupo de $S_n$ que consiste nas permutacións pares.

E aquí chegamos, máis unha vez, ao temiña desta entrada do blogue. O grupo alterno $A_n$ de permutacións pares ten estrutura de grupo (con cardinalidade $n!/2$). O elemento identidade (a permutación que non move ningún elemento) ten paridade par, por tanto o subconxunto de permutacións impares non ten estrutura de grupo porque non contén un elemento identidade.

Todo isto do grupo simétrico está sacado das notas do profesor Bruce Ikenaga Abstract Algebra 1 .

En todo o que está aquí contado quixen referirme ao conxunto completo de números impares. Se nos referimos a conxecturas ou problemas sen resolver con números primos impares (pobre $2$) eu diría que hai infinitas $(\to \infty)$, porque os números primos son o demo.

Por exemplo, a conxectura de Erdös-Straus de que toda fracción $\dfrac{4}{n}$ pode ser escrita como a suma de tres fraccións unitarias (ou exipcias) $\dfrac{4}{n} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}$, non está resolvida para certo subconxunto de números primos impares.

Unha excepción para os pares

Para os pares temos a Conxectura de Goldbach (versión forte), que nos dí que calquera número par pode escribirse como a suma de dous primos. Está sen demostrar.

A versión débil, todo número impar pode ser conseguido coa suma de tres primos, acaba de ser demostrada por Harald Helfgott, o problema ternario de Goldbach , e levou 5 aniños desde que foi presentada a demostración no 2013 ata que foi recoñecida no 2018. Un precioso documento de 317 páxinas, que reduce o valor superior estabelecido por Vinogradov. No 1937 Vinogradov demostrou que a partir de certa constante $C$ a conxectura cumpríase e posteriormente estabeleceu unha constante a partir da que se cumpría: $e^{e^{e^{41.96}}}$, mais dado que era un valor grandísimo non se podía demostrar que non fallase algún caso por debaixo dese valor, por tanto os novos traballos foron baixando ese valor ata chegar a un valor onde se puideran comprobar computacionalmente o resto de casos (os casos de valores baixos).

Bibliografia

1. Michael Filaseta, Wilson Harvey Covering subsets of the integers by congruences
2. Harald Andres Helfgott The ternary Goldbach problem
3. Bruce Ikenaga Abstract Algebra 1
4. Oeis Enciclopedia das secuencias
5. Poorten A proof that Euler missed
6. Blagoj S. Popov Summation of Reciprocal Series of Numerical Functions of Second Order
7. B.W.Sullivan Numerous Proofs of $\zeta(2)$
8. Wiki Función zeta de Riemann
9. Wiki Número Perfecto

A inversión proxectada

Paga a pena ler as anotacións da biografía de Jakob Steiner (1796-1863) do portal MacTutor da Universidade de St. Andrews (Escocia) para enterármonos dos avatares da súa vida. Alí cóntase que non aprendeu a ler nin a escribir ata os 14 anos e que os seus pais non querían que estudase. Foi pola súa propia iniciativa que ingresou na escola de Pestalozzi e só despois de estar varios anos gañándose a vida como profesor particular de matemáticas, chegou a ter a atención doutros matemáticos do seu tempo como Jacobi, Abel ou Crelle. De feito xa no primeiro número do famoso Xornal de Crelle aparece un artigo de Steiner no que desenvolve a súa teoría da potencia dun punto respecto dunha circunferencia. En relación con estas ideas o matemático suízo inventa no ano 1830 unha cuasi-transformación do plano (afecta a todo o plano agás a un punto). Estamos a falar da inversión. Presentaremos dous métodos equivalentes de construír unha inversión.

Metodo 1. Dado un punto $P$ no círculo de centro $O$ e raio $R=OT$ trazamos a semirecta $OP$ e a súa perpendicular polo punto $P$. Esta perpendicular cortará en dous puntos á circunfenrencia. A tanxente nun destes puntos cortará a semirecta $OP$ nun punto $P'$ que será a inversión de $P$

No caso de que $P$ fique fóra do círculo a obtención de $P'$ sería semellante. Desde $P$ trazamos unha das tanxentes á circunferencia $PT$. Despois trázase a perpendicular a $OP$ por $T$ e obtemos $P'$

 

Nesta applet pódese comprobar que o segundo método é equivalente ao primeiro.

Método 2. Se $P$ está dentro do círculo de centro $O$ e raio $R=OU$ trazamos a semirecta $OP$ e o diámetro $RS$ ortogonal a $OP$. Desde un destes extremos do diámetro, diagamos $R$, trazamos a semirecta $RP$ que cortará á circunferencia en $V$. Trazamos entón a semirecta $SV$ que cortará a $OP$ no punto buscado $P'$.

Se $P$ está fóra do devandito círculo bastará con trazar $RP$ que corta á circunferencia en $V$. Entón $SV$ cortará a $OP$ en $P'$.

En ambos casos a inversión dun punto da circunferencia é o propio punto $P'=P$

Formulación alxébrica da inversión

Coa finalidade de obter unha caracterización máis alxébrica, repasemos cada un destes métodos.

Os triángulos $OTP$ e $OTP'$ son semellantes, de aí que $$\frac{OP}{OT}=\frac{OT}{OP'}$$ $$OP\cdot OP'=OT^{2}=R^{2}\quad\quad [1]$$

Vexamos como aplicando o outro método obtemos o mesmo resultado

 Os triángulos $UOP$ e $VOP'$ son semellantes, de aí que $$\frac{OP}{OU}=\frac{OV}{OP'}$$ $$OP\cdot OP'=OU\cdot OV=R^{2}\quad\quad [1']$$

Así podemos definir o inverso dun punto $P$ respecto dunha circunferencia de centro $O$ e raio $R$ como outro punto $P'$ na semirecta $OP$ tal que $OP\cdot OP'=R^{2}$

Con esta observación fica claro que o inverso do inverso é o propio punto.

A inversión proxectada

Curiosamente a proxección estereográfica, da que falamos na anterior entrada,  está conectada coa inversión. En concreto, podemos definir a inversión mediante a proxección estereográfica. 

Consideremos o plano $\sigma$ e nel unha circunferencia de centro $S$ e raio $R=2r$, con $r$ o raio da esfera $NP_{\pi}S$ tanxente a $\sigma$ en $S$

Dado un punto $P$ de $\sigma$, mediante a inversa da proxección esteriográfica obtemos na esfera o punto $P_{\pi }$. Sexa entón $P'_{\pi }$ o punto diametralmente oposto a $P_{\pi }$ nesa esfera. A proxección estereográfica deste punto será $\overline{P_{\pi }'}$.

Como $P_{\pi }P'_{\pi }$ é un diámetro o ángulo en $N$ é recto. Velaí que o triángulo $PN\overline{P_{\pi }'}$ é rectángulo. Polo teorema da altura

$$PS\cdot \overline{P'_{\pi }}S=NS^{2}=\left ( 2r \right )^{2}=R^{2}$$

Como se verifica a condición [1] (equivalentemente [1']) dada anteriormente, o punto $\overline{P'_{\pi }}$ sería o inverso de P respecto da circunferencia de centro $S$ e raio $R$ se non fose por un pequeno detalle: que non está na semirecta $SP$. Por esta razón aínda teremos que aplicarlle unha simetría respecto de $S$ a ese punto para obter, por fin, o inverso $P'$.

En resumo, a inversión dun punto $P$ nun plano $\sigma$ respecto dunha circunferencia de centro $S$ e raio $R$ pode obterse mediante a seguinte serie de transformacións:

• A inversa da proxección estereográfica
• O punto diametralmente oposto respecto do centro da esfera
• A proxección estereográfica
• A simetría respecto do centro na circunferencia

De todo isto conclúese que as propiedades que viramos na anterior entrada sobre a proxección estereográfica esténdense á inversión pois son propiedades que tamén se conservan polas simetrías aplicadas. Isto é:

• Como a proxección estreográfica leva circunferencias que pasan polo Polo Norte en rectas, a inversión transformará circunferencias que pasan polo centro $S$ da circunferencia de inversión en rectas.
• Como a proxección esterográfica leva circunferencias que non pasan polo Polo Norte en circunferencias, a inversión transformará circunferencias que non pasan polo centro $S$ da circunferencia de inversión en circunferencias.
• Como a proxección estereográfica conserva os ángulos, a inversión conservará os ángulos.

Con toda esta bagaxe de certo que a nosa visión do seguinte vídeo será máis profunda, e gozaremos máis del. Que vídeo? Pois un, en concreto o primeiro, dos do marabilloso proxecto Dimensions, no que as imaxes xogan coa proxección estereográfica e a inversión no plano proxectado. Sóavos de algo?

A proxección estereográfica reencontrada

É curioso como hai certas cousas que se nos quedan retidas na memoria mentres que moitas outras, quizais similares, quizais nalgún sentido máis importantes,  as esquecemos. Cando cursaba 1º de carreira, na materia de Topoloxía I, Xosé Masa puxéranos como exemplo de homeomorfismo (aplicación bixectiva, continua e de inversa continua) unha aplicación, \(\pi\), que identificaba a esfera \(S^{2}=\left \{ (X,Y,Z)/X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=r^{2}\right \}\) (sen o punto correspondente ao Polo Norte) co plano \(\mathbb{R}^{2}\) (sen a orixe): $$\pi \left ( X,Y,Z \right )=\left ( \frac{2rX}{r-Z},\frac{2rY}{r-Z} \right )\quad\quad [1]$$

Esta aplicación é coñecida co nome de proxección esterográfica. Constrúese proxectando desde o Polo Norte $N(0,0,r)$  calquera punto da esfera $(X,Y,Z)$ sobre o plano $z=-r$, tanxente á esfera no Polo Sur $S(0,0,-r)$. 

Aínda que pasaron case catro décadas, lembro moi claramente un par de cousas. Unha delas foi que me chamara moito a atención a expresión [1] da función $\pi$, de onde saía?; daquela pensei que nunca chegaría a saber como xustificar esa expresión. Unha segunda cousa que retiven todo este tempo na memeoria foi que Masa déranos a entender que esa función era moi importante. Por iso eu agardaba volver a encontrala máis adiante. Con todo, nese curso non había de ser. Tampouco no resto da carreira, nin despois. Ata hoxe.

Proxección do ecuador

Podemos xogar un pouco coa proxección estereográfica para entendela mellor. É moi sinxelo visualizar que a proxección do ecuador vai ser unha circunferencia. Ademais como o ángulo que forma o eixo terrestre $NS$ coa recta $NP$ é de 45º, se a esfera ten raio $r$ a circunferencia proxectada terá raio $R=2r$. Os paralelos tamén darán lugar a circunfencias. Os paralelos do hemisferio norte proxectaranse en circunferencias de raio maior a $R$ e os do hemisferio sur farano en circunferencias dun raio menor que $R$.

Proxección dun meridiano

Tampouco é dificil visualizar que os meridanos van proxectarse en rectas que pasen polo Polo Sur. Ata aquí os meus coñecementos sobre a cuestión naquela altura. Por algunha razón nestes días volvín sobre to tema. Atopei un deses manuais das "Leccións populares" da editorial MIR,en concreto, o titulado La proyección estereográfica, de G-A. Rosenfeld e N. D. Sergeeva. A maior parte do que vén de seguido foi recollido deste texto.

Para profundizar un pouco máis en todo o relativo á proxección estereográfica, poñamos en práctica algúns coñecementos do currículo de 2º de Bacharelato. Fagamos uso das coordenadas dos puntos amosados nas imaxes: $N(0,0,r)$, $S(0,0,-r)$, $P(X,Y,Z)$ e $P'(x,y,-r)$ e procuremos relacionar as coordendas destes dous últimos puntos. Con ese fin, consideremos os vectores $\overrightarrow{NP}=\left (  X,Y,Z-r\right )$ e $\overrightarrow{NP'}=\left (  x,y,-2r\right )$ que marcan a mesma dirección, de aí que o cociente das súas compoñentes terá que ser unha constante $k$:

$\frac{X}{x}=\frac{Y}{y}=\frac{Z-r}{-2r}=k$, ou equivalentemente 

$$\left.\begin{matrix}X=kx\\ Y=ky\\ Z=r\left ( 1-2k \right )\end{matrix}\right\}\quad \quad [2]$$

Da última das ecuación obtemos que $k=\frac{r-Z}{2R}$. Substituíndo nas dúas primeiras obtense o valor das coordenadas do punto proxectado:

$$x=\frac{X}{k}=\frac{2rX}{r-Z}\quad\quad e \quad\quad y=\frac{Y}{k}=\frac{2rY}{r-Z}$$

Isto é, deducimos a expresión analítica da proxección estereográfica $\pi$ dada en $[1]$. Fagamos o mesmo para obter a inversa $\pi ^{-1}$.

Sexa $P(X,Y,Z)$ un punto da esfera. Verificará a igualdade $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=r^{2}$. Substituíndo nesta expresión os valores obtidos en [2]:

$$k^{2}x^{2}+k^{2}y^{2}+r^{2}\left ( 1-2k \right )^{2}=r^{2}$$ $$k^{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )+r^{2}\left ( 1-4k+4k^{2} \right )=r^{2}$$ $$k^{2} \left ( x^{2} +y^{2}+4r^{2}\right )-4kr^{2}=0$$

Se $k=0$ vemos en $[2]$ que obtemos o punto $N(0,0,r)$. Desbotando este caso podemos simplificar esta última igualdade por $k$:

$$k \left ( x^{2} +y^{2}+4r^{2}\right )-4r^{2}=0$$ $$k=\frac{4r^{2}}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}$$

Finalmente presentamos a prometida expresión analítica da inversa que deducimos empregando outra vez as relacións dadas en [2].

$$X=\frac{4r^{2}x}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}\quad,\quad Y=\frac{4r^{2}x}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}\quad,\quad Z=\frac{x^{2}+y^{2}-4r^{2}}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}\quad\quad [3]$$

$$\pi ^{-1}(x,y)=\left ( \frac{4r^{2}x}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}},\frac{4r^{2}y}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}},\frac{x^{2}+y^{2}-4r^{2}}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}} \right )$$

Co obxecto de simplificar os cálculos, a partir de agora tomaremos como valor do raio da esfera $r=1$. Así, por exemplo a anterior expresión [3] reduciríase a :

$$X=\frac{4x}{x^{2}+y^{2}+4}\quad,\quad Y=\frac{4x}{x^{2}+y^{2}+4}\quad,\quad Z=\frac{x^{2}+y^{2}-4}{x^{2}+y^{2}+4}\quad\quad [3']$$

Propiedades da proxección estéreográfica

Comezaremos lembrando como é a ecuación dunha circunferencia no plano. Se $(x_{0},y_{0})$ é o centro da circunferencia e o raio é $R$, aplicando o teorema de Pitágoras:

$$\left ( x-x_{0} \right )^{2}+\left ( y-y_{0} \right)^{2}=R^{2}$$ $$x^{2}-2x_{0}x+x_{0}^{2}+y^{2}-2y_{0}y+y_{0}^{2}=R^{2}$$ 

$$ x^{2}+y^{2}-2x_{0}x-2y_{0}y+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-R^{2}=0$$

Tomando $a=-2x_{0}$, $b=-2y_{0}$ e $c=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-R^{2}=0$ a expresión fica en

$$x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0 \quad\quad  [4]$$

Propiedade 1. A proxección estereográfica leva circunferencias en circunferencias; se a circunferencia da esfera pasa polo Polo Norte, a súa proxección será unha recta.

Unha circunferencia na esfera é a intersección da esfera cun plano $\alpha :AX+BY+CZ+D=0$. Substituíndo os valores de $X$, $Y$ e $Z$ obtidos en [3'], sacando despois denominadores e reorganizando os termos teremos:

$$A\frac{4x}{x^{2}+y^{2}+4}+B\frac{4y}{x^{2}+y^{2}+4}+C\frac{x^{2}+y^{2}-4}{x^{2}+y^{2}+4}+D=0$$ $$4Ax+4By+\left ( x^{2}+y^{2}-4 \right )C+\left ( x^{2}+y^{2}+4 \right )D=0$$ $$\left ( C+D \right )\left ( x^{2}+y^{2}\right )+4Ax+4By+4(D-C)=0$$

Que o Polo Norte $P(0,0,1)$ forme parte da circunferencia que se proxecta significa que $P$ é un punto do plano $\alpha$. Substituíndo as súas coordenadas na ecuación do plano obtemos que $C+D=0$. Tal e como queriamos demostrar, neste caso a última ecuación reduciríase a unha recta:

$$4Ax+4By+4(D-C)=0$$

Consideremos agora que $P\notin \alpha $, ou equivalentemente, que $C+D\neq 0$. Dividindo por $C+D$ quedaría da forma:

$$x^{2}+y^{2}+\frac{4A}{C+D}x+\frac{4B}{C+D}y+\frac{4\left ( D-C \right )}{D+C}=0$$

Comparando con [4] vemos que é a forma xeral dunha circunferencia $\square $.

Propiedade 2. A proxección estereográfica é unha aplicación conforme, isto é, conserva os ángulos.

A partir da seguinte figura imos obter as bases da demostración desta segunda propiedade.

Figura 1

Consideremos unha curva $\gamma$ pasando por un punto $P$ da esfera $S^{2}$. Sexa $T_{N}$ o plano tanxente ao Polo Norte $N$ e $T_{P}$ o plano tanxente ao punto $P$. Estes planos córtansena recta $r$. Como son planos tanxentes á esfera determinan un triángulo isóscele con ángulos iguais $\beta _{1}=\beta _{2}$.

Tracemos, desde o Polo Norte a proxección do punto $P$ sobre o plano $T_{S}$ tanxente ao Polo Sur $S$. Obtemos así $\pi(P)=P'$. En $P$ determínanse ángulos  da mesma medida, $\beta _{2}=\beta _{3}$, por seren opostos polo vértice. Finalmente tamén $\beta _{1}=\beta _{4}$ pois son correspondentes. En consecuencia o triángulo $PQP'$ é isóscele, de aí que os lados etiquetados con $b$ midan o mesmo (ver figura 1)

Figura 2

Sexa $t$ a recta tanxente a $\gamma$ en $P$, $t$ estará en $T_{P}$. Se aplicamos a proxección estereográfica $\pi$ a $\gamma$ obteremos unha curva $\pi(\gamma)=\gamma'$ no plano $T_{S}$ que terá como tanxente en $P'$ a recta $\pi(t)=t'$, unha recta no plano $T_{S}$. Os segmentos $PQ=P'Q=b$ son ortogonais a $QL$. Fórmanse así dous triángulos rectángulos congruentes $PQL$ e $P'QL$. En consecuencia os ángulos $\theta $ que forman as rectas $t$ e $t'$ cos segmentos $PQ$ e $P'Q$ son iguais.

Como corolario disto ultimo, se por $P$ pasase outra curva $\lambda$, a súa tanxente en $P$ formaría con $PQ$ o mesmo ángulo que a tanxente en $P'$ a $\pi(\lambda)=\lambda'$ con $P'Q$, de aí que o ángulo determinado por dúas curvas $\gamma$ e $\lambda$ se conservaría mediante a proxección.de por que regresar á proxección estereográfica

Con toda esta bagaxe de certo que a nosa visión do seguinte vídeo será máis profunda, e gozaremos máis del. Que vídeo? Pois un, en concreto o último,  dos do marabilloso proxecto Dimensions, no que se demostra como a proxección estéreográfica leva as circunferencias da esfera que non pasan polo Polo Norte en circunferencias. Sóavos de algo?

Erros na aula de matemáticas

Hai unha razón fundamental pola que recomendaría o libro de Tomás Ortega del Rincón titulado  Errores en didáctica de las matemáticas (Editorial Síntesis 2022); porque é un libro sobre didáctica que se entende. Efectivamente, se un é profesor de matemáticas pódese recoñecer nestas páxinas. Presenta unha ampla clasificación de 41 tipos de erro que se poden cometer nas aulas de matemáticas co obxectivo de que o profesorado os recoñeza, reflexione sobre eles e mellore a súa práctica docente.

Aínda que non se explicita vese ao longo do texto que moitas das achegas xurden dentro do contexto das aulas do Máster de Profesorado na Universidade de Valladolid. Por todo o libro hai unha insistencia obsesiva no rigor e na procura de evitar ambigüidades. Se dentro do ámbito das matemáticas e do seu ensino estas son cualidades desexables, a miña impresión foi que chega a un radicalismo extremo na súa esixencia. 

Un dos erros que trata, o denominado "erro de univocidade simbólica", é exemplificado co caso da función inversa. Tomás Ortega razoa, e razoa ben, que a denominación de función inversa dunha función $f$ é a que se lle debe asignar a $\frac{1}{f}$ pois é coherente coa mesma denominación cando tratamos o produto de números pois dicimos, por exemplo, que o inverso de 3 é $\frac{1}{3}$. Que sucede entón coa función inversa $f^{-1}$, a relacionada coa composición de funcións? Está claro que chamarlle do mesmo xeito a dúas cousas distintas dá lugar a equívocos, a erros, e a problemas de comprensión na aula. A proposta de Tomás Ortega é que cando falamos de composición non deberiamos darlle a denominación de "función inversa", senón de "función recíproca"; incluso fai a proposta de denotala como $f^{r}$ e emprega esta notación en todo o libro.

O colmo deste tipo de erro dase cando aparecen xuntos os dous conceptos que denominamos igual pero que significan cousas distintas. Quen non tivo dificultades para explicar a derivada da función inversa? Se $f^{-1}$ é derivable e a súa derivada é distinta de cero entón: $$\left (f^{-1}  \right )'(x)=\frac{1}{f'\left [ f^{-1} \left ( x \right )\right ]}$$

Como se le isto? Tomás sinala malévolamente que os libros de texto evitan a transcripción verbal, limitándos a dar a fórmula anterior. Eu enunciaríao así: "a derivada da inversa₁ é a inversa₂ da derivada na inversa₁", onde inversa₁ significa "$f^{-1}$" e  inversa₂   significa "$\frac{1}{f}$". Cando o declamamos na aula podemos darlle máis énfase á pronuncia de inversa₁ que á de inversa_2. A min particularmente, gústame o trabalinguas. Ao alumnado, é normal, suponlle unha barreira desagradable. Con todo, isto forma parte da inculturación matemática. Nalgún momento eses mesmos alumnos tiveron que aprender a ler fórmulas que enunciamos como "a potencia dun produto é o produto das potencias". Sorprendentemente o autor do libro indica que "son frecuentes as delcaracións de profesores de matemáticas de Educación Secundaria nas que manifestan que non entenderon este teorema"

A proposta de Tomás Ortega é máis radical. A súa coherencia lévao a trasladar esta cuestión ao que usualmente se lle chama produto de matrices. El propón falar de "composición" de matrices e, en consecuencia de "matriz recíproca" no canto de "matriz inversa". O uso de palabras distintas, "inversa" e "recíproca", nun principio, é unha vantaxe. Porén vai en contra de toda a tradición. Entre outras cousas ten que enfrontarse coa simboloxía dos libros e das calculadoras, pois a "recíproca" dunha matriz $A$ debería aparecer como $A^{r}$ e nas calculadoras temos a función $sen^{-1}$. Sería unha batalla a moi longo prazo convencer a practicamente toda a humanidade (a humanidade son os USA) que debería aparecer $sen^{r}$

Por falarmos doutro erro, miremos o que no libro se denomina "erro de aplicación" e que consiste en repetir a proba dun teorema nun exercicio en lugar de aplicar directamente o teorema. Critica un libro de texto no que, despois de ter dado o teorema da derivada da función inversa, non o aplique directamente para obter a derivada das inversas das funcións trigonométricas. Nese libro aparece unha dedución moi semellante á que conto eu na aula (antes de dar o teorema da derivada da inversa), que é a seguinte:

Sexa $y=arc sen x$, tomando senos nos dous membros:

$seny=sen(arc senx)=x$ . Agora derivamos. Para derivar o primeiro membro temos que aplicar a regra da cadea pois temos a seguinte composición $x\rightarrow y\rightarrow seny$

$y'\cdot cosy=1$         despexo:

$y'=\frac{1}{cosy}$ e finalmente lembro que $y=arcsenx$

$\left ( arc sen x \right )'=\frac{1}{cos\left ( arcsenx \right )}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

A última igualdade precisa dunha explicación. Teñamos en conta a imaxe na que lle chamamos $\alpha$ ao ángulo que ten de seno $x$: $sen(\alpha)=x$. Denominemos $z=cos(\alpha)=cos(arc sen x)$. Polo teorema de Pitágoras:

$z^2+x^2=1$

$z=\sqrt{1-x^{2}}$

Tomás Ortega considera que a anterior demostración deberíase  facer aplicando directamente o teorema da derivada da función inversa:

$$(arcsenx)'=\frac{1}{sen'\left ( arcsenx \right )}=\frac{1}{cos\left [ arcsenx \right ]}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

Eu non lle vexo problema a facelo das dúas maneiras por varias razóns. Unha delas é que obtemos o mesmo resultado por dous camiños distintos, e isto sempre é gratificante pois pon de relevo a bela coherencia das matemáticas. A outra é que a comprensión desta segunda demostración faise máis costa arriba que a primeira e se temos dúas demostracións distintas e só entendemos unha aínda temos algo ao que agarrarnos. Ademais hai unha dificultade engadida (outro tipo de erro): que denominamos $arcsenx$ á inversa de $senx$ no canto de poñer $sen^{-1}x$. De aí que haxa que ter moi interiorizados todos os conceptos en xogo pois non é visualmente evidente que esteamos aplicando o resultado que anteriomente escribimos como $$\left (f^{-1}  \right )'(x)=\frac{1}{f'\left [ f^{-1} \left ( x \right )\right ]}$$

Algúns erros

A modo de ilustración, vou citar algúns outros erros que me chamaron a atención.

• Un profesor novel sorprenderase do erro que cometen algúns alumnos ao identificar o número $\pi$ como racional a pesar de que na aula se destacara precisamente ese número como paradigma da irracionalidade. Normalmente pasamos por alto que definimos $\pi$ como a razón entre a lonxitude da circunferencia, $L$, e o seu diámetro,$d$. O razoamento está claro: se  $\pi =\frac{L}{d}$, damos pé a pensar que $\pi$ é unha fracción. O erro é difícil de desmontar, por iso hai que telo en conta. Por outra banda este erro crea unha tensión que determina o corte entre unha boa e unha mala compresión do concepto de "número racional" vs. "número irracional".

• "Na actualidade, no desenvolvemento actual do currículo procédese a facer innumerables exercicios de cálculo de límites e de derivadas, sen que os alumnos comprenderan os conceptos de límite, por unha parte, nin de derivada pola outra. A exercitación no cáculo rutineiro de límites e derivadas en detrimento da docencia e aprendizaxe dos conceptos que os soportan impide que os alumnos os comprendan". Deste caso non culpa só ao profesorado de secundaria pois afirma que "deste erro didáctico en boa parte son responsables as universidades, xa que nas PAU optouse por unha proposta exclusiva de exercicios de aplicación en detrimento de desenvolvementos teóricos"

• A pesar de que no libro aparecen bastantes exemplos para ilustrar os distintos tipos de erro non aparece o seguinte, que entendo que caería dentro dos do tipo "erro de notación" que é o que se produce ao usar notacións inadecuadas. Todos escribimos así a fórmula fundamental da trigonometría: $sen^{2}A+cos^{2}A=1$, claro que sabemos que cando escribimos $sen^{2}A$ queremos dicir $\left ( senA \right )^{2}$. A notación habitual pode levar ao alumnado a pensar que unha expresión como $sen^{2}$ ten sentido en si mesma. 

• O "erro de interdisciplinariedade" prodúcese cando un contido que forma parte doutra disciplina se presenta de forma moi distinta. Aquí Tomás Ortega ofrece un exemplo da materia de debuxo linear. A min o primeiro que se me pasou pola mente foi o concepto de derivada e o seu uso e notación en física. Cando se presenta o difícil concepto de derivada creo que cómpre facelo sen restrixirse ao ámbito puro das matemáticas. É o suficientemente complexo e importante como para que teñamos que ofrecer o marco histórico da súa xestación. Como mostra da súa versatilidade penso que debemos ilustrar con algún exemplo de aplicación na física. Introducir tamén a notación para as derivadas que se usa nas aulas de física pode sobresaturar ao alumnado cando se teña que enfrontar a este concepto pero este risco ten, en compesación outras vantaxes obvias. Unha delas, a xa citada de que eses exemplos físicos ilustran a capacidade desta nova ferramenta. Outra é a do recoñecemento nas clases de física do xa adiantado nas de matemáticas.